Vagues d’électrons



L’équation de Schrödinger (1887-1961) est l’équation fondamentale de la théorie quantique. Cette théorie quantique permet de prévoir les propriétés des atomes polyélectroniques.


Le modèle ondulatoire

L’équation d’onde de Schrödinger fournit une ou plusieurs fonctions, qu’on appelle des fonctions d’ondes ou orbitales, et qui sont associées à chaque énergie permise.

L’équation est la suivante :

(x,y,z) appelée fonction d’onde, est une fonction des coordonnées x,y,z de la position de l’électron dans un espace tridimensionnel et H, un opérateur (symbole qui désigne une série d’opérations mathématiques).

États quantiques

Une propriété importante des ondes stationnaires, est qu’elles ne peuvent pas prendre n’importe quelle fréquence car les extrémités de l’onde sont fixes. Quand vous fixez les extrémités, seules des fréquences discrètes sont permises (lesquelles dépendent de la longueur de la corde). On peut se représenter une onde stationnaire à partir d’une corde de guitare en vibration (Figure 18).

Figure 18. Représentation des ondes stationnaires

Les nœuds sont les points où l’onde change de signe. La fréquence la plus basse est appelée fondamentale ou première harmonique et ne possède pas de nœud. La seconde harmonique possède un nœud ; sa fréquence vaut deux fois la fréquence fondamentale. On continue ainsi de suite en augmentant le nombre de nœuds et en augmentant la fréquence en multiple de la fréquence fondamentale.

On utilise l’analogie des ondes stationnaires d’une corde car la fonction d’onde associée () à un électron coincé entre deux extrémités possède la même contrainte que les ondes stationnaires, avec seulement des longueurs d’ondes discrètes. L’énergie des électrons est proportionnelle à sa fréquence. L’énergie la plus basse est appelé état fondamental et possède une fréquence fondamentale. Les états d’énergie supérieure sont appelés états excités et se produisent aux multiples harmoniques discrètes de la fréquence fondamentale. Les ondes stationnaires discrètes sont à l’origine de la mécanique quantique.

Réalité physique des fonctions d’onde

Les électrons, protons, neutrons et photons sont tous des particules qui se comportent « comme » des ondes capable d’interférer entre elles (interférences constructives et destructives). Les fonctions d’onde associées aux particules n’ont aucune réalité physique. Une interprétation physique de ce modèle théorique est que le carré de la fonction d’onde nous renseigne sur la probabilité de trouver une paticule dans un espace donné. 2(x,y,z) représente la densité de probabilité de trouver l’électron dans un volume V autour du point x,y,z.

Paramètres caractéristiques des électrons dans l’atome

La résolution mathématique de l’équation de Schrödinger impose des restrictions qui conduisent à l’introduction de nombres n, l, m, s devant satisfaire à certaines conditions et appelés nombres quantiques ; l’énergie et la localisation spatiale des électrons gravitant autour du noyau sont déterminées par ces nombres.

Les nombres quantiques qui apparaissent dans le modèle ondulatoire ont une signification physique et des règles d’utilisation.

Les nombres quantiques définissent l’état des électrons dans un atomes

  • n= nombre quantique principal
  • l= nombre quantique secondaire ( ou azimutal)
  • m= nombre quantique magnétique
  • s = nombre quantique de spin

Nombre quantique principal

Le nombre quantique
n est un entier strictement positif: il se nomme nombre quantique principal, car il quantifie l’énergie. On retrouve par la mécanique ondulatoire la même expression des différents niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène que celle obtenue dans le modèle de Bohr.

n ne peut prendre que les valeurs entières 1, 2, 3, 4 ….

Nombre quantique secondaire

Le nombre quantique l est un entier positif, strictement inférieur à n, appelé nombre quantique azimutal, ou nombre quantique secondaire. l quantifie le module du moment cinétique orbital etdétermine la forme de l’orbitale dans laquelle la probabilité de trouver les électrons est maximale.

l ne peut prendre que les valeurs entières positives entre 0 et n-1

Pour chaque valeur de l correspond une lettre minuscule qui désigne la sous-couche électronique :

Nombres quantiques secondaires

 

 

Nombre quantique magnétique

Le nombre quantique ml est appelé nombre quantique magnétique, il détermine l’orientation spatiale de l’orbitale. Pour une valeur de l donnée, ml peut prendre les valeurs entières entre -l et +l (0 y compris). Il y autant d’orbitales que de valeurs ml.

ml peut prendre les valeurs entières :-lml +l

Nombre quantique de spin

Le nombre quantique s représente le moment magnétique de spin d’un noyau ou d’un électron. Un électron possède une valeur de spin de ± ½. Lorsqu’un faiseau d’électron passe dans l’entrefer d’un aimant à champ inhomogène, le faiseau se sépare en deux montrant ainsi deux comportements magnétiques de l’électron (Figure 19). L’électron a donc un mouvement intrinsec de rotation sur lui-même.

Figure 19. Expérience de mise en évidence du spin électronique


En résumé :

Le Tableau 10 résume les différentes possibilités des nombres quantiques pour décrire les différents niveaux d’énergie des électrons.

Tableau 10. Les nombres quantiques des quatre première couche d’énergie d’un atome

Tableau 10. Les nombres quantiques des quatre premières couches d’énergie d’un atome


Énergie des orbitales

La structure énergétique des atomes polyélectroniques est obtenue en remplissant les orbitales électron par électron, par ordre croissant d’énergie en démarrant par le niveau le plus bas. C’est le principe d’Aufbau.

L’ordre des niveaux des orbitales s’obtient facilement en utilisant la règle de Klechkowski :

Les orbitales se remplissent par ordre croissant de n+ l

n est le nombre quantique principal et l le nombre quantique secondaire. En cas d’égalité, l’orbitale ayant la plus petite valeur de n est remplie en premier.

Il existe cependant de nombreuses exceptions, liées aux stabilités particulières des orbitales saturées comme par exemple pour les atomes de Cr, Cu et Ag.

Le diagramme de Klechkowski est un moyen mnémotechnique, permettant de visualiser cette règle (Figure 20). On trouve donc l’ordre de remplissage suivant : 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s…(Figure 20).

Figure 20. Règle de Klechkowski


Figure 21. Classement des sous-couches par ordre croissant d'énergie


Configuration électronique

La configuration électronique d’un atome s’obtient en plaçant les électrons un à un dans les sous-couches. Le remplissage des sous-couches se fait par ordre croissant d’énergie. Pour cela il faut respecter deux règles : le principe d’exclusion de Pauli et la règle de Hund.

Principe d’exclusion de Pauli

Deux électrons appartenant à un même atome sont caractérisés par un jeu de paramètres n, l, ml et s unique. Ainsi chaque orbitale ne peut abriter que 2 électrons de spin opposé.

Règle de Hund

La règle de Hund énonce que le plus bas niveau d’énergie est celui où les orbitales de chaque sous couche sont successivement occupée par un seul électron ayant tous le même spin, jusqu’à ce qu’apparaissent nécessairement des paires.

La configuration électronique d’un élément s’obtient en l’écrivant de la façon suivante :


Figure 22. Configuration électronique des 10 premiers éléments


Figure 23. Application de la règle de Hund pour l'atome de Carbone


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